SPI場合の数の練習問題5問｜順列・余事象・円順列を解説つきで

答え：720通り

「並べる＝順番を区別する＝順列」です。すべて異なる6冊を全部並べるので、左の位置から順に、置ける本の数をかけ合わせていきます。

1. 左端：6冊のどれでもよい＝6通り
2. 2番目：残り5冊＝5通り、以降 4通り・3通り・2通り・1通り
3. 全部かける：6×5×4×3×2×1 ＝ 720通り

異なるn個を全部並べる並べ方は n!（nの階乗）。「並べる・順番をつける」と来たら順列と判断するのが型です。別の見方でも検算します。5冊を並べると5! ＝ 120通り、そこへ6冊目を差し込める位置は「両端＋本の間」の6か所なので 120×6 ＝ 720通りで一致 ✓。

答え：210通り

役職は3つとも違う役割なので、選ぶだけでなく「誰がどの役か」の順番まで区別して数えます（＝順列nPr）。

1. 部長：7人の誰でもよい＝7通り
2. 副部長：部長を除く残り6人＝6通り
3. 会計：さらに残り5人＝5通り
4. かけ合わせる：7×6×5 ＝ 210通り（＝7P3）

検算します。もし「役職の区別なく3人を選ぶだけ」なら組合せで 7×6×5 ÷（3×2×1）＝ 35通り。今回は選んだ3人に部長・副部長・会計という並べ替え（3! ＝ 6通り）の違いがあるので、35×6 ＝ 210通りで一致します ✓。役割・順位・位置の違いがあるなら順列、選ぶだけなら組合せと見分けます。

答え：48通り

「隣り合う」ときは、その2人をひとまとめにして1人ぶんの「かたまり」として数えるのが定石です。

1. 両親を1つのかたまりとみなすと、「かたまり＋子ども3人」の4つを並べる ＝ 4! ＝ 24通り
2. かたまりの中で、父・母の左右の並びが2通り＝2通り
3. かけ合わせる：24×2 ＝ 48通り

別の数え方でも検算します。両親が隣り合う位置は、5席のうち隣どうしのペア（1-2, 2-3, 3-4, 4-5）の4か所、それぞれ父母の左右で2通り、残り3席に子ども3人で3! ＝ 6通り。4×2×6 ＝ 48通りで一致します ✓。「隣り合う」と来たら束ねる、あとで中の並びをかける——この2段構えを忘れないのがコツです。

答え：72通り

「隣り合わない」を正面から数えると場合分けが増えます。全体から「隣り合う並び」を引く（余事象）のが速いです。

1. 全体（5人を自由に並べる）＝ 5! ＝ 120通り
2. AとBが隣り合う並び＝AとBを束ねて4! ＝ 24、中の左右2通りで 24×2 ＝ 48通り（例題③と同じ「束ねる」技）
3. 隣り合わない ＝ 120 − 48 ＝ 72通り

直接数える「すき間に入れる」方法でも検算します。まずAとB以外の3人（C・D・E）を並べる＝3! ＝ 6通り。この3人がつくる4つのすき間（両端と間）に、AとBを別々に入れる ＝ 4×3 ＝ 12通り。6×12 ＝ 72通りで一致します ✓。「〜でない」ときは全体からそうなる並びを引く——これが場合の数の逆算の基本形です。

答え：120通り

円形では、回すと同じになる並びを重複して数えないため、一列のときの数え方をそのまま使えません。

1. 6人を横一列に並べると 6! ＝ 720通り
2. ただし円形では、6人ぶん回転させた並びはすべて同じ ＝ 6通りずつ重複している
3. 720 ÷ 6 ＝ 120通り

公式でも確認します。n人の円順列は (n−1)!。6人なら (6−1)! ＝ 5! ＝ 120通りで一致します ✓。これは「1人を基準の席に固定して、残り5人を一列に並べる ＝ 5! ＝ 120通り」と考えても同じです。円になったら「(n−1)!」、または「1人を固定して残りを並べる」と覚えておきましょう。