SPI確率の練習問題6問｜余事象・同時取り出しと、土台になる数え方

答え：120通り

「並べる」＝順番を区別する＝順列です。左から1か所ずつ、置ける旗の数をかけ合わせていきます。

1. 左端：5色のどれでもよい＝5通り
2. 2番目：残り4色＝4通り、3番目：残り3色＝3通り、4番目：2通り、5番目：1通り
3. 全部かける：5×4×3×2×1 ＝ 120通り

異なるものを全部並べるときは「n×(n−1)×…×1」。「並べる・順番をつける」と来たら順列と判断するのが型です。

答え：56通り

「3人を選ぶだけ」で役割の違いはない＝順番を区別しない＝組合せです。

1. まず8人から3人を「並べて選ぶ」と考えると：8×7×6 ＝ 336通り
2. ただし選ぶだけなので、同じ3人の並べ替え（3×2×1＝6通り）はすべて同じ顔ぶれ → ダブりで割る
3. 336 ÷ 6 ＝ 56通り

組合せは「順列を、選んだ人数の並べ替え（ダブり）で割ったもの」。入れ替えても同じ顔ぶれなら組合せです。

答え：1/3

確率は「条件に合う場合の数 ÷ 全体の場合の数」。まず分母（全体）を確定させます。

1. 全体：カードは12枚なので12通り
2. 3の倍数のカードを書き出す：3・6・9・12 の4通り
3. 確率 ＝ 4 ÷ 12 ＝ 1/3（約分：4/12 → 1/3）

迷ったら当てはまるものを実際に書き出して数えるのが確実です。最後の約分を忘れないようにしましょう。

答え：11/36

「少なくとも1回」を正面から数えると、6が1回・2回の場合分けが要ります。反対（余事象）を数えて1から引くのが近道です。

1. 「少なくとも1回6」の反対は「2回とも6以外」
2. 1回で6以外が出る確率＝5/6。2回続けて6以外＝5/6×5/6 ＝ 25/36
3. 求める確率 ＝ 1 − 25/36 ＝ 11/36

「少なくとも」ときたら 1−（起こらない確率）。場合分けが増えそうなときの定石です。

答え：15/28

「同時に取り出す」＝順番は関係ない＝組合せで分母を作ります。分子は「赤から1個」「白から1個」をかけ合わせる（積の法則）のがポイントです。

1. 全体：8個から2個を選ぶ組合せ ＝ (8×7)÷(2×1) ＝ 28通り
2. 赤白1個ずつ：赤玉5個から1個（5通り）×白玉3個から1個（3通り）＝ 5×3 ＝ 15通り
3. 確率 ＝ 15 ÷ 28 ＝ 15/28

「2個とも赤」のように同じ仲間からそろえるときは分子も組合せ1つですが、色（種類）をまたいで1個ずつ選ぶときは、それぞれの選び方をかけ算します。分母を組合せでそろえたら、分子も「組み合わせの数」で数えるのが基本です。（確認：赤2個＝(5×4)÷2＝10通り、白2個＝(3×2)÷2＝3通り。10＋15＋3＝28通りで全体と一致 ✓）

答え：48通り

桁ごとに置ける数を考えますが、百の位に0を置くと3桁にならない点が条件分けのポイントです。

1. 百の位：0は使えないので、1・2・3・4 の4通り
2. 十の位：百の位で使った1枚を除く残り4枚（0も使える）＝4通り
3. 一の位：さらに残った3枚＝3通り
4. かけ合わせる：4×4×3 ＝ 48通り

「整数を作る」問題は先頭の0が禁止になりがち。制約のある位（先頭）から先に数えるのが型です。